Congruence

Arithmétique - Mathématiques Expert

Exercice 1 : Équation de congruence (nombres autour de 10) - avec tableau des restes

Le but de cet exercice est de résoudre l'équation suivante : \[8x \equiv 8 \ [13]\]Remplir le tableau des restes ci-dessous.

Conclure en donnant, sous une forme générale dépendant d'un entier relatif quelconque \(k\), les solutions de cette équation.
On écrira par exemple : \(\left\{3k+2\ ;\ 6k+1, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

Exercice 2 : Équation de congruence (grands nombres avec simplification possible)

Résoudre l'équation suivante : \[38x \equiv 152 \ [209]\] On donnera la réponse sous une forme générale dépendant d'un entier relatif quelconque \(k\), par exemple : \(\left\{3k+2\ ;\ 6k+1, k \in \mathbb{Z} \right\}\).

Exercice 3 : Déterminer l'inverse d'un nombre modulo n et l'utiliser pour résoudre une équation

Déterminer un inverse de \(7\) modulo \(23\).

En déduire les solutions de l'équation : \(7x \equiv 21 [23]\).
On donnera la réponse sous une forme générale dépendant d'un entier relatif quelconque \(k\), par exemple : \(\left\{3k+2, k \in \mathbb{Z} \right\}\).

Exercice 4 : Calcul d'un jour de la semaine du calendrier grégorien (guidé)

Le but de ce problème est de déterminer le jour de la semaine pour n'importe quelle date du calendrier grégorien.
On cherche par exemple à savoir quel sera le jour de la semaine le 11 septembre 2305. On sait que le 11 septembre 2018 est un mardi.

Combien d'années séparent le 11 septembre 2305 du 11 septembre 2018 ?

Une année est définie comme le temps nécessaire à la Terre pour effectuer une révolution autour du Soleil. Les physiciens ont quantifié cette durée à environ 365,2425 jours. Il n'y a donc pas un nombre rond de semaines dans une année.
Pour prendre en compte ce décalage, on a introduit le principe d'année bissextile. Une année bissextile compte, sur le calendrier tradionnel, 366 jours au lieu des 365 jours d'une année classique.

On définit pour l'instant une année bissextile de la manière suivante : une année est bissextile si l'année est divisible par 4.
Avec une telle définition, combien y a-t-il d'années bissextiles entre le 11 septembre 2305 et le 11 septembre 2018 ?

En fait, cette correction est trop forte, et on doit sauter certaines années bissextiles pour avoir une durée plus proche de la durée réelle.
Les règles sont les suivantes:

L'année est bissextile si le nombre est divisible par 4.
L'année n'est pas bissextile si le nombre est divisible par 100.
L'année est bissextile si le nombre est divisible par 400.

Remarque : en pratique, ces précautions ne suffisent toujours pas à être parfait à cause des nombreux effets gravitationnels qui agissent sur la Terre, et qui font varier la durée d'une année. Régulièrement les physiciens décident d'ajuster la durée d'une année en ajoutant ou en supprimant une seconde intercalaire en fonction de leurs observations.

Donner finalement le nombre réel d'années bissextiles entre le 11 septembre 2305 et le 11 septembre 2018.

En déduire le nombre de jours qui séparent le 11 septembre 2305 du 11 septembre 2018.

Conclure en donnant quel sera le jour de la semaine le 11 septembre 2305.

Exercice 5 : Equation de congruence simple (une seule solution)

Sachant que \( 0 \leq a \lt 7 \), résoudre l'équation suivante : \[ 44 \equiv a \ [7] \]
On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple \( \{1; 3\} \) ou \( [2; 4[ \).

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