Arithmétique - Expert

Le but de cet exercice est de résoudre l'équation suivante : \[3x \equiv 2 \ [7]\]Remplir le tableau des restes ci-dessous.

Conclure en donnant, sous une forme générale dépendant d'un entier relatif quelconque \(k\), les solutions de cette équation.
On écrira par exemple : \(\left\{3k+2\ ;\ 6k+1, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

Le but de ce problème est de déterminer le jour de la semaine pour n'importe quelle date du calendrier grégorien.
On cherche par exemple à savoir quel était le jour de la semaine le 19 janvier 1698. On sait que le 19 janvier 2018 est un vendredi.

Combien d'années séparent le 19 janvier 1698 du 19 janvier 2018 ?

Une année est définie comme le temps nécessaire à la Terre pour effectuer une révolution autour du Soleil. Les physiciens ont quantifié cette durée à environ 365,2425 jours. Il n'y a donc pas un nombre rond de semaines dans une année.
Pour prendre en compte ce décalage, on a introduit le principe d'année bissextile. Une année bissextile compte, sur le calendrier tradionnel, 366 jours au lieu des 365 jours d'une année classique.

On définit pour l'instant une année bissextile de la manière suivante : une année est bissextile si l'année est divisible par 4.
Avec une telle définition, combien y a-t-il d'années bissextiles entre le 19 janvier 1698 et le 19 janvier 2018 ?

En fait, cette correction est trop forte, et on doit sauter certaines années bissextiles pour avoir une durée plus proche de la durée réelle.
Les règles sont les suivantes:

• L'année est bissextile si le nombre est divisible par 4.
• L'année n'est pas bissextile si le nombre est divisible par 100.
• L'année est bissextile si le nombre est divisible par 400.

Remarque : en pratique, ces précautions ne suffisent toujours pas à être parfait à cause des nombreux effets gravitationnels qui agissent sur la Terre, et qui font varier la durée d'une année. Régulièrement les physiciens décident d'ajuster la durée d'une année en ajoutant ou en supprimant une seconde intercalaire en fonction de leurs observations.

Donner finalement le nombre réel d'années bissextiles entre le 19 janvier 1698 et le 19 janvier 2018.

En déduire le nombre de jours qui séparent le 19 janvier 1698 du 19 janvier 2018.

Conclure en donnant quel était le jour de la semaine le 19 janvier 1698.

Résoudre l'équation suivante : \[80x \equiv 30 \ [50]\] On donnera la réponse sous une forme générale dépendant d'un entier relatif quelconque \(k\), par exemple : \(\left\{3k+2\ ;\ 6k+1, k \in \mathbb{Z} \right\}\).

Résoudre l'équation suivante : \[4x \equiv 5 \ [11]\] On donnera la réponse sous une forme générale dépendant d'un entier relatif quelconque \(k\), par exemple : \(\left\{3k+2\ ;\ 6k+1, k \in \mathbb{Z} \right\}\).

Le numéro INSEE, aussi appelé numéro de Sécurité Sociale, est formé d'une suite unique de 15 chiffres attribués pour chaque individu de nationalité française.
Ce numéro est ainsi déterminé :

Pour calculer la clé de contrôle, on prend le nombre formé par les 13 premiers chiffres et on cherche son reste \( r \) dans la division par \( 97 \).
La clé est alors égale au nombre \( 97 - r \) écrit avec deux chiffres (le premier étant éventuellement un 0).

On prend un personne au hasard dans la population. Son numéro de Sécurité Sociale, dont on a caché la clé de contrôle, est le suivant : \[ 2\:51\:06\:36\:881\:145\: \text{xx} \]

Qu'y a-t-il d'écrit normalement à la place de \( \text{xx} \) ?

Dans un hôpital, un médecin se demande si son secrétaire n'aurait pas commis une erreur en recopiant le numéro INSEE de son patient : \[ 2\:60\:12\:88\:894\:882\:32 \]

Les doutes du médecin sont-ils justifiés ?