Congruence

Arithmétique - Mathématiques Expert

Exercice 1 : Équation de congruence (nombres autour de 10) - avec tableau des restes

Le but de cet exercice est de résoudre l'équation suivante : \[5x \equiv 2 \ [11]\]Remplir le tableau des restes ci-dessous.
{"header_left": ["\\(5x \\equiv ? \\ [11]\\)"], "data": [["?", "?", "?", "?", "?", "?", "?", "?", "?", "?", "?"]], "corner_cell": "\\(x\\)", "header_top": [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]}
Conclure en donnant, sous une forme générale dépendant d'un entier relatif quelconque \(k\), les solutions de cette équation.
On écrira par exemple : \(\left\{3k+2\ ;\ 6k+1, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

Exercice 2 : Utilisation de la division euclidienne dans le numéro INSEE

Le numéro INSEE, aussi appelé numéro de Sécurité Sociale, est formé d'une suite unique de 15 chiffres attribués pour chaque individu de nationalité française.
Ce numéro est ainsi déterminé :

  • - 1 chiffre pour le sexe (\( 1 \) pour Homme et \( 2 \) pour Femme) ;
  • - 2 chiffres correspondant aux deux derniers chiffres de l'année de naissance ;
  • - 2 chiffres correspondant au mois de naissance ;
  • - 2 chiffres correspondant au département de naissance ;
  • - 3 chiffres correspondant à la commune de naissance ;
  • - 3 chiffres correspondant au numéro d'inscription sur le registre des naissances ;
  • - 2 chiffres correspondant à une clé de contrôle.

Pour calculer la clé de contrôle, on prend le nombre formé par les 13 premiers chiffres et on cherche son reste \( r \) dans la division par \( 97 \).
La clé est alors égale au nombre \( 97 - r \) écrit avec deux chiffres (le premier étant éventuellement un 0).

On prend un personne au hasard dans la population. Son numéro de Sécurité Sociale, dont on a caché la clé de contrôle, est le suivant : \[ 1\:89\:05\:95\:085\:807\: \text{xx} \]

Qu'y a-t-il d'écrit normalement à la place de \( \text{xx} \) ?

Dans un hôpital, un médecin se demande si son secrétaire n'aurait pas commis une erreur en recopiant le numéro INSEE de son patient : \[ 2\:74\:09\:48\:619\:974\:22 \]

Les doutes du médecin sont-ils justifiés ?

Exercice 3 : Déterminer le reste d'une division à l'aide de calculs avec les congruences

On donne deux entiers \(a\) et \(b\) tels que \[a \equiv 2 [8]\] \[b \equiv 3 [8]\]

Déterminer le reste de la division euclidienne de \(-4a^{2} + b\) par \(8\).

Exercice 4 : Calcul d'un jour de la semaine du calendrier grégorien (guidé)

Le but de ce problème est de déterminer le jour de la semaine pour n'importe quelle date du calendrier grégorien.
On cherche par exemple à savoir quel était le jour de la semaine le 23 septembre 1518. On sait que le 23 septembre 2018 est un dimanche.

Combien d'années séparent le 23 septembre 1518 du 23 septembre 2018 ?

Une année est définie comme le temps nécessaire à la Terre pour effectuer une révolution autour du Soleil. Les physiciens ont quantifié cette durée à environ 365,2425 jours. Il n'y a donc pas un nombre rond de semaines dans une année.
Pour prendre en compte ce décalage, on a introduit le principe d'année bissextile. Une année bissextile compte, sur le calendrier tradionnel, 366 jours au lieu des 365 jours d'une année classique.

On définit pour l'instant une année bissextile de la manière suivante : une année est bissextile si l'année est divisible par 4.
Avec une telle définition, combien y a-t-il d'années bissextiles entre le 23 septembre 1518 et le 23 septembre 2018 ?

En fait, cette correction est trop forte, et on doit sauter certaines années bissextiles pour avoir une durée plus proche de la durée réelle.
Les règles sont les suivantes:

  • L'année est bissextile si le nombre est divisible par 4.
  • L'année n'est pas bissextile si le nombre est divisible par 100.
  • L'année est bissextile si le nombre est divisible par 400.
Remarque : en pratique, ces précautions ne suffisent toujours pas à être parfait à cause des nombreux effets gravitationnels qui agissent sur la Terre, et qui font varier la durée d'une année. Régulièrement les physiciens décident d'ajuster la durée d'une année en ajoutant ou en supprimant une seconde intercalaire en fonction de leurs observations.

Donner finalement le nombre réel d'années bissextiles entre le 23 septembre 1518 et le 23 septembre 2018.

En déduire le nombre de jours qui séparent le 23 septembre 1518 du 23 septembre 2018.
Conclure en donnant quel était le jour de la semaine le 23 septembre 1518.

Exercice 5 : Equation de congruence simple (une seule solution)

Sachant que \( 0 \leq a \lt 15 \), résoudre l'équation suivante : \[ 175 \equiv a \ [15] \]
On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple \( \{1; 3\} \) ou \( [2; 4[ \).
Revenir au choix du niveau
Kwyk vous donne accès à plus de 8 000 exercices auto-corrigés en Mathématiques.
Nos exercices sont conformes aux programmes de l'Éducation Nationale de la 6e à la Terminale. Grâce à Kwyk, les élèves s'entraînent sur du calcul mental, des exercices d'arithmétique et de géométrie, des problèmes et des exercices d'application, des exercices d'algorithmique et de python, des annales du brevet des collèges et du baccalauréat. Nos exercices sont proposés sous forme de réponse libre et/ou de QCM.

Afin d'assurer un entraînement efficace et pertinent aux élèves, chaque exercice est généré avec des valeurs aléatoires. Les élèves peuvent s'entraîner grâce aux devoirs donnés sur Kwyk par leurs professeurs et aux devoirs générés par notre outil utilisant l'IA mais aussi grâce aux différents modules de travail en autonomie mis à disposition sur leur espace personnel. Pour les niveaux du collège, les élèves ont également accès à des cours constitués d'une partie théorique et d'une partie pratique.
Avec Kwyk, vous mettez toutes les chances du côté des élèves pour que les différents théorèmes, propriétés et définitions n'aient plus aucun secret pour eux.

En 2024, plus de 40 000 000 d'exercices ont été réalisés sur Kwyk en Mathématiques.
Exercices de Mathématiques : préparer les examens
Brevet des collèges | Baccalauréat
S'entraîner dans d'autres matières
Français | Physique-Chimie
False